ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களில் தொகை. ஒரு முக்கோணம் கோணங்களின் மொத்ததிற்கான தேற்றம்

முக்கோணம் மூன்று பக்கங்களிலும் (மூன்று கோணங்களில்) கொண்ட ஒரு பலகோணமாகும். பெரும்பாலும், பகுதியாக எதிர் முனைகளை பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் பெரிய எழுத்துக்களுக்கு, தொடர்புடைய சிறிய கடிதங்கள் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த கட்டுரையில் நாம் ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களில் நிகரான தொகையை என்ன வரையறுக்கிறது வடிவியல், தேற்றம், இந்த வகையான பாருங்கள்.

வகைகள் பெரிய கோணங்களில்

மூன்று முனைகள் பலகோணம் பின்வரும் வகையான:

• இதில் அனைத்து கோணங்களில் கூர்மையான உள்ளன, மேல் கொம்பு கோண;
• செவ்வக ஒரு சரியான கோணத்தில் கொண்ட, உருவாகிக் பக்க, கால்கள் குறிப்பிடப்படுகிறது, வலது கோணம் எதிர் வெளியேற்றப்படுகிறது என்று பக்க கர்ணம் என்று கூறுவர்;
• மந்தத்தன்மை போது ஒரு கோணத்தில் மந்தத்தன்மை உள்ளது ;
• யாருடைய இரண்டு பக்கங்களிலும் மூன்றாவது சமமாக இருக்கும் சமயத்தில், அவர்கள் பக்கவாட்டு அழைக்கப்படுகின்றன, மற்றும் இருசமபக்க, - ஒரு தளம் ஒரு முக்கோணம்;
• சமபக்கங்களுடனும் மூன்று சம பக்கங்களிலும் கொண்ட.

பண்புகள்

முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு வகை குணாதியசங்களாகும் என்று அடிப்படைப் பண்புகளைக் ஒதுக்கலாம்:

• பெரிய பக்க எப்போதும் அதிக கோணம் மற்றும் மாறாகவும் உள்ளது எதிராகவும்;
• சம-பெரிய கட்சி எதிர் சம கோணங்களில் மற்றும் மாறாகவும் உள்ளன;
• எந்த முக்கோணத்தில் இரண்டு கடுமையான கோணங்களில் உள்ளது;
• எந்த உள் கோணம் அருகில் இல்லை அவ்விடத்திற்கு விட அதிகமாக வெளி கோணம் உள்ளிட்ட பல நன்மைகளைக்
• எந்த இரண்டு கோணங்களில் தொகை எப்போதும் 180 குறைவாக டிகிரி;
• வெளிப்புறம் கோணம் அவருடன் mezhuyut இல்லாத பிற இரண்டு முனைகள், தொகை சமம்.

ஒரு முக்கோணம் கோணங்களின் மொத்ததிற்கான தேற்றம்

தேற்றம் நீங்கள் யூக்லிடியன் விமானம் அமைந்துள்ள வடிவியல் வடிவம், அனைத்து மூலைகளிலும் வரை சேர்க்க என்றால், தங்கள் தொகை 180 டிகிரி இருக்கும் என்று கூறுகிறது. இந்த கோட்பாட்டை நிருபித்துக் முயற்சி செய்வோம்.

நாங்கள் முனைகளை KMN ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணம் சாப்பிடலாம். எம் மேல் நடத்த வேண்டும் முழுவதும் வரி போலவே அப்படியே கே.என் (கூட இந்த வரி யூக்ளிட் என்றழைக்கப்படுகிறது). என்று புள்ளிகள் கே மற்றும் ஒரு வரி எம்.என் பல்வேறு பக்கங்களிலும் இருந்து அமைக்கப்பட்டுள்ளன அது புள்ளி ஒரு கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். நாம் சங்கமும் மற்றும் MUF, அதே கோணத்தில் இது, உள்துறை போன்ற, இணை இவை நேரடி சிஎன் மற்றும் எம்ஏ, இணைந்து எம்.என் குறுக்கிடும் அமைக்க குறுக்காக பொய் கிடைக்கும். இதிலிருந்து அது M மற்றும் N முனைகளைப் அமைந்துள்ள முக்கோணம், கோணங்களின் கூடுதல் சிஎம்ஏ கோணத்தின் அளவு சமமாக என்னும் கருத்தைப் பின்பற்றுகிறது. அனைத்து மூன்று கோணங்களில் KMA and எம்சிஎஸ் கோணங்களின் நிகரான தொகையை ஒரு தொகை கொண்டுள்ளன. தரவு உள் கோணங்களில் உறவினர் தலை இணை கோடுகள் சிஎல், ஊடறுக்கும் சென்று முதல்வரிடம் எம்ஏ இருப்பதால், அவற்றின் தொகை 180 டிகிரி. இந்த தேற்றம் நிரூபிக்கிறது.

விளைவாக

மேலே தேற்றம் மேலே பின்வரும் துணையாக உணர்த்துகிறது: ஒவ்வொரு முக்கோணம் இரண்டு கடுமையான கோணங்கள் உள்ளன. இதை நிரூபிக்க, எங்களுக்கு இந்த வடிவியல் எண்ணிக்கை ஒரே ஒரு தீவிரமான கோணம் என்று கருதிக் கொள்வோம். நீங்கள் மூலைகளிலும் பகுதிகளைச் சேர்ந்தவர்களில் யாரும் கூர்மையான இல்லை தொடரலாம். இந்த வழக்கில் குறைந்தது இரு கோணங்களில் சமமாக அல்லது 90 டிகிரி விட அதிகமாக உள்ளது அளவில் இது இருக்க வேண்டும். ஆனால் பின்னர் கோணங்களில் தொகை 180 டிகிரி விட அதிகமாக உள்ளது. எந்த குறைவாக, இனி - ஒரு முக்கோணத்தின் தேற்றம் தொகை கோணங்களில் படி 180 ° சமமாக இருக்கும் ஆனால், இந்த இருக்க முடியாது. என்று நிரூபித்தது வேண்டியிருந்தது என்ன.

சொத்து வெளியே மூலைகளிலும்

வெளிப்புற இவை ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களில் தொகை என்ன? இந்த கேள்விக்கு பதில் இரண்டு வழிகளில் ஒன்று பயன்படுத்துவதன் மூலம் பெறலாம். முதல் நீங்கள், ஒவ்வொரு உச்சி ஒரு எடுத்து அதாவது, மூன்று கோணங்களில் அவை கோணங்களில் தொகை கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று உள்ளது. இரண்டாவது நீங்கள் முனைகளை ஆறு கோணங்களில் தொகை கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. முதல் வடிவமாகும் தொடக்கத்தில் சமாளிக்க. இரண்டு ஒவ்வொரு மேல் - இவ்வாறு, முக்கோணம் ஆறு வெளி மூலைகளிலும் கொண்டிருக்கிறது. அவர்கள் செங்குத்து என்பதால் ஒவ்வொரு ஜோடி, தங்களை இடையே சம கோணங்கள் உள்ளன:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

மேலும், இது ஒரு முக்கோண வெளி மூலையில் அவருடன் mezhuyutsya இல்லாத இரண்டு உள்துறை, தொகை சமம் என்று அறியப்படுகிறது. எனவே,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

இதிலிருந்து அது ஒவ்வொரு உச்சி அருகே ஒருவர் பின் ஒருவராக உள்ளெடுக்கும் வெளிப்புறம் கோணங்களில் நிகரான தொகையை இருக்கும் என்று தோன்றுகிறது:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 X (∟A + ∟V ∟S +).

கோணங்களில் தொகை 180 டிகிரி சமம் என்ற உண்மையை கொடுக்கப்பட்ட, அந்த ∟A + ∟V ∟S = + 180 ° வரை வாதிட்டார் முடியும். இந்த என்று ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 அ x 180 ° = 360 ° அர்த்தம். இரண்டாவது விருப்பத்தை பயன்படுத்தப்பட்டால், ஆறு கோணங்களில் தொகை இருமுறை அதற்கேற்ப பெரியதாக இருக்கும். ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களில் தொகை அதாவது வெளியே இருக்கும்:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 X (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

செங்கோண முக்கோணம்

ஒரு செங்கோண முக்கோணம் கோணங்களின் நிகரான தொகையை என்ன, தீவு உள்ளது? பதில் ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களில் 180 டிகிரி வரை சேர்க்க எனக் கூறுகின்றன தேற்றம் இருந்து, மீண்டும், ஆகிறது. ஒரு ஒலி நம் வலியுறுத்தல் (சொத்து) பின்வருமாறு: ஒரு செங்கோண முக்கோணம் கூர்மையான கோணங்களில் 90 டிகிரி வரை சேர்க்க இல். நாம் அதன் உண்மைத்தன்மையை நிரூபிக்க. கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் KMN, இது ∟N = 90 ° இருக்கக் கடவது. அது ∟K ∟M = + 90 க்கு ° நிரூபிக்க வேண்டும்.

இவ்வாறு, கோணங்களில் ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° தொகை மீது தேற்றம் படி. இந்த நிலையில் அது ∟N = 90 ° கூறப்படுகிறது. அது ∟K ∟M + 90 ° = 180 ° மாறிவிடும். 90 ° = 90 ° - என்று ∟K ∟M + = 180 ° உள்ளது. அந்த நாம் என்ன நிரூபிக்க வேண்டும் தான்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணம் மேலே பண்புகள் கூடுதலாக, நீங்கள் இந்த சேர்க்க முடியும்:

• கால்கள் எதிராக பொய் இது கூர்மையான கோணங்களில்;
• கால்கள் எந்த அதிகமாக முக்கோண கர்ணம்;
• கர்ணம் விட கால்கள் தொகை;
• 30 டிகிரி கோணத்தில் எதிர் அமைந்திருக்கக் கூடிய முக்கோணத்தின் கால், கர்ணம் பாதி, அதன் அரை சமமாக இருக்கும்.

வடிவியல் வடிவத்தை மற்றொரு சொத்து என பித்தாகோரியன் தேற்றம் பிரித்துக் காணமுடியும். அவள் 90 டிகிரி (செவ்வக) கோணத்தைக் ஒரு முக்கோணத்தில், கால்கள் வர்க்கங்களின் கூடுதலை கர்ணம் இருமடங்கு பெருக்க சமம் என்று வாதிடுகிறார்.

ஒரு இருசமபக்க முக்கோணத்தின் கோணங்களில் தொகை

முன்னதாக நாம் ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம் மூன்று முனைகளை ஒரு கோணம், இரண்டு சம பக்கங்களிலும் கொண்ட என்று கூறினார். இந்த பண்பு வெளிப்படையாக வடிவியல் எண்ணிக்கை: அதன் அடிப்பகுதியில் கோணங்களில் சம. எங்களுக்கு இந்த சோதித்துப் பார்க்கட்டும்.

அதன் அடிப்படை - இது இருசமபக்க, எஸ்சி உள்ளது முக்கோணம் KMN, எடுத்து. நாம் என்று ∟K = ∟N நிரூபிக்க வேண்டும். எனவே, எங்களுக்கு என்று எம்ஏ கருதிக் கொள்வோம் - KMN எங்கள் முக்கோணத்தின் இருசமவெட்டியாகவும் அமையும். சமத்துவம் முதல் குறியுடன் ICA முக்கோணம் முக்கோணம் MNA உள்ளது. அதாவது, கருதுகோளில் முதல்வர் = என்.எம், எம்ஏ, ஒரு பொதுவான பக்க என்று ∟1 = ∟2 கொடுக்கப்பட்ட ஏனெனில் எம்ஏ - இந்த இருசமகூறாக்கியை. இரண்டு முக்கோணங்கள் சமத்துவம் பயன்படுத்தி, ஒரு ∟K = ∟N என்று வாதிடுவோரும் உண்டு. எனவே, தேற்றம் நிரூபித்தது உள்ளது.

ஆனால் நாம், ஆர்வமாக ஒரு முக்கோணம் (இருசமபக்க) கோணங்களின் கூடுதல் என்ன. இந்த மரியாதை அதை அதன் அம்சங்கள் இல்லை ஏனெனில், நாங்கள் முன்பு விவாதித்தது தேற்றம் மீண்டும் தொடங்குவோம். அதனால்தான் நாம் கூறுகிறோம் முடியும், என்று ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, அல்லது 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (∟K = ∟N போன்ற). ஒரு முக்கோணம் கோணங்களின் மொத்ததிற்கான தேற்றம் முந்தைய நிரூபித்தது நிலையில், இது சொத்து நிரூபிக்க முடியாது.

ஒரு முக்கோணத்தின் மூலைகளிலும் கருதப்படுகிறது பண்புகள் தவிர, அங்கு போன்ற முக்கியமான வாக்கியங்களாவன:

• இல் சமபக்க முக்கோணம் உயரம், அடிப்படை குறைக்கப்பட்டது இருந்த, சம பக்கங்களிலும் இடையே இது கோணம் சராசரி இருசமகூறாக்கியை ஒரே நேரத்தில் உள்ளது சமச்சீர் அச்சு அதன் அடிப்படை;
• ஒரு வடிவியல் படத்தின் புறங்களுக்கு நடத்தப்படுகின்றன எந்த சராசரி (இருசமகூறாக்கியை, உயரம்), சமமானவையாகும்.

சமபக்க முக்கோணத்தின்

இது சரியான அழைக்கப்படுகிறது, அனைத்து கட்சிகளும் சமமாக உள்ள முக்கோணம் ஆகும். எனவே இது சம மற்றும் கோணங்களில். அவர்கள் ஒவ்வொருவரும் 60 டிகிரி. எங்களுக்கு இந்த சொத்து சோதித்துப் பார்க்கட்டும்.

எங்களுக்கு நாம் ஒரு முக்கோணம் KMN வேண்டும் எனக் கருதுவோம். நாம் கே.எம் =, HM = கேஎச் என்று எனக்கு தெரியும். இந்த சமபக்க முக்கோணம் ∟K = ∟M = ∟N உள்ள அடிப்பகுதியில் ஏற்படும் கோணங்களில் சொத்து படி, என்று பொருள். + = 180 ° ஒரு முக்கோணம் தேற்றம் ∟K + ∟M ∟N கோணங்களின் கூடுதல் படி, என்பதால் கொண்டால் x 3 = 180 ° ∟K அல்லது ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. இவ்வாறு, வலியுறுத்தல் நிரூபித்தது உள்ளது. மேலே தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டவையாக மேலே ஆதாரத்திலிருந்து காண்பது போல், கோணங்களில் தொகை சமபக்க முக்கோணத்தின், வேறு எந்த முக்கோணத்தின் கோணங்களில் கூட்டுத்தொகையைப் 180 டிகிரி. மீண்டும் இந்த தேற்றம் நிரூபிக்கும் அவசியமில்லை.

சமபக்க முக்கோணத்தின் பண்பு சில பண்புகள் இன்னும் உள்ளன:

• ஒரு வடிவியல் படத்தில் சராசரி இருசமகூறாக்கியை உயரம் ஒத்த, மற்றும் அவற்றின் நீளம் (x a √3) கணக்கிடப்பட்டுள்ளது: 2;
• இந்த பலகோணத்தை வட்டம் circumscribing என்றால், ஆரம் (x a √3) சமமாக இருக்கும்: 3;
• ஒரு வட்டம் சமபக்கங்களுடனும் முக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது என்றால், அதன் ஆரம் (x a √3) இருக்கும்: 6;
• (A2 இல் எக்ஸ் √3): வடிவியல் எண்ணிக்கை பகுதியில் சூத்திரம் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது 4.

மந்தத்தன்மை முக்கோணம்

வரையறையின் கீழ் ஒரு மந்தத்தன்மை கோண முக்கோணம், அதன் மூலைகளிலும் ஒன்று 90 180 டிகிரி வரை இருக்கும். ஆனால் கூர்மையான வடிவியல் வடிவத்தை மற்ற இரண்டு கோணங்களில், அவர்கள் 90 டிகிரி மிகாத முடித்தார் முடியும் என்று உண்மையில் கொடுக்கப்பட்ட. எனவே, ஒரு முக்கோணம் தேற்றம் கோணங்களின் கூடுதல் ஒரு மந்தத்தன்மை முக்கோணத்தில் கோணங்களில் தொகை கணக்கிட்டு வேலை. எனவே, நாம் பாதுகாப்பாக ஒரு முக்கோணத்தின் மந்தத்தன்மை கோணங்களில் தொகை 180 டிகிரி என்று மேலே தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டவையாக, சொல்ல முடியும். மீண்டும், இந்த தேற்றம் மீண்டும் ஆதாரம் தேவையில்லை.