கிராமர் முறை மற்றும் அதன் பயன்பாடு

வரிசைமுறை இயற்கணித சமன்பாடுகள் (SLAE) முறைமைகளைத் தீர்க்கும் முறையிலான முறைகளில் க்ரேமரின் முறை ஒன்றாகும் . அதன் துல்லியம், அமைப்பு முறையின் டிடிடினென்களின் பயன்பாடு மற்றும் கோட்பாட்டின் ஆதாரத்தின் அடிப்படையில் சுமத்தப்பட்ட சில கட்டுப்பாடுகள் காரணமாகும்.

X1, x2, ..., xn ஆகியவற்றில் இருந்து R-உண்மையான எண்களின் தொகுப்பைக் கொண்டிருக்கும் கோளப்பொருள்களைக் கொண்ட நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகள் ஒரு முறை.

Ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi i = 1, 2, ..., m, (1)

Aij, bi உண்மையான எண்கள் எங்கே. இந்த ஒவ்வொரு வெளிப்பாடுகளும் ஒரு நேர்கோட்டு சமன்பாடு, aij - தெரியாதவர்களுக்கான குணகம், சமன்பாடுகளின் சார்புக் குணகம் ஆகியவற்றைக் குறிக்கிறது.

கணினியின் ஒரு தீர்வு (1) என்பது n-பரிமாண திசையன் x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °) ஆகும், இது கணினியில் மாற்றாக, x1, x2, ..., xn க்கு பதிலாக, அமைப்பின் ஒவ்வொரு வரிசையும் உண்மையான சமத்துவம் .

ஒரு முறை அது குறைந்தபட்சம் ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருப்பின் கூட்டுச் சமன்பாடு எனக் கூறப்படுகிறது, அதன் தீர்வானது வெற்றுச் செருகோடு இணைந்தால் பொருந்தாது.

கிராமர் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கு ஒரு தீர்வை கண்டுபிடிப்பதற்காக, கணினி மேட்ரிக்ஸ் சதுரமாக இருக்க வேண்டும், இது அடிப்படையில் அமைப்பில் உள்ள அறியப்படாத மற்றும் சமன்பாடுகளின் அதே எண்ணிக்கையை குறிக்கிறது.

எனவே, க்ரேமேர் முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கு, நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் அது எவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது என்பதை அறிய வேண்டும். இரண்டாவதாக, மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிக்கப்பட்டிருப்பதைப் புரிந்துகொள்வதற்கும் அதன் கணக்கீடுகளின் திறமைகளைப் புரிந்து கொள்வதற்கும்.

இந்த அறிவை நீங்கள் சொந்தமாக வைத்துக் கொள்ளுங்கள். அற்புதமான! பின்னர் நீங்கள் கிராமர் முறையை நிர்ணயிக்கும் சூத்திரங்களை நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டும். நினைவாற்றலை எளிமையாக்குவதற்கு, பின்வரும் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

• டிட் கணினி மேட்ரிக்ஸின் முக்கிய உறுதியானது;

• Deti என்பது மேட்ரிக்ஸின் i-th column க்கு பதிலாக ஒரு நெடுவரிசை திசையன் மூலம், அதன் உறுப்புகள் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் வலது பக்கங்களாக இருந்தால், கணினி மேட்ரிக்ஸிலிருந்து பெறப்படும் அணிவரிசை தீர்மானிக்கப்படுகிறது;

• N என்பது கணினியில் அறியப்படாத மற்றும் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை.

N-dimensional vector x இன் i-th கூறு xi (i = 1, ... n) ஐ கணக்கிடுவதற்கான கிராமர் ஆட்சி படிவத்தில் எழுதப்படலாம்

Xi = deti / Det, (2).

Det கண்டிப்பாக nonzero உள்ளது.

அமைப்பின் தீர்வின் தனிச்சிறப்பு அது இணக்கமானதாக இருக்கும் போது, இந்த அமைப்பின் முக்கிய உறுதியானது பூஜ்ஜியமானது என்பதை உறுதிப்படுத்துகிறது. இல்லையெனில், கூட்டு (xi), ஸ்கொயர், கண்டிப்பாக நேர்மறையாக இருந்தால், சதுர மேட்ஸுடன் SLAE பொருத்தமற்றதாக இருக்கும். குறிப்பாக, நடப்பிலுள்ள குறைந்தபட்சம் ஒரு பூஜ்யத்திலிருந்து வேறுபட்டால் இது நிகழலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 . கிரமரின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி LAU இன் முப்பரிமாண முறைமையை தீர்க்கவும்.
X1 + 2 x2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

தீர்வு. நாம் வரிசையில் கணினி வரிசையை எழுதுகிறோம், அங்கு AI ஐ அணிவரிசையில் ith வரிசை உள்ளது.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3 -1 1 1).
இலவச குணகங்களின் பட்டம் b = (31 29 10).

டெட் அமைப்பின் முக்கிய உறுதியானது
Det = a11 a22 a33 a33 a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Det1 கணக்கிடுவதற்கு, நாம் ஒரு 11 = b1, a21 = b2, a31 = b3 ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துவோம். பின்னர்
Det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 b2 a12 = ... = -81.

இதேபோல், det2 கணக்கிடுவதற்கு, நாம் ஒரு 12 = b1, a22 = b2, a32 = b3 ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துவோம், அதன்படி, det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3 ஆகியவற்றைக் கணக்கிட.
பின்னர் நீங்கள் det2 = -108, மற்றும் det3 = -135 ஐ சரிபார்க்கலாம்.
கிராமர் சூத்திரங்களின் படி, நாம் x1 = -81 / (-27) = 3, x2 = -108 / (-27) = 4, x3 = -135 / (-27) = 5 ஐக் காண்கிறோம்.

பதில்: x ° = (3,4,5).

இந்த விதிமுறையின் பயன்பாட்டிற்கான நிபந்தனைகளுக்கு இணங்க, வரிசைப்படுத்தப்பட்ட சமன்பாடு முறைமைகளைத் தீர்க்கும் கிரமரின் முறை மறைமுகமாக பயன்படுத்தப்படலாம், உதாரணமாக, சில அளவுருக்கள் மதிப்பைப் பொறுத்து, சாத்தியமான பல தீர்வுகளுக்கு கணினியை விசாரிக்கவும்.

உதாரணம் 2. சமன்பாடு kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 என்பது ஒரு மதிப்புக்குரியது.

தீர்வு.
இந்த சமத்துவமின்மை, ஒரு சார்பின் மாதிலிகளின் வரையறைக்குட்பட்டதன் அடிப்படையில், இரு வெளிப்பாடுகள் ஒரே நேரத்தில் பூஜ்யம் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே திருப்தி அளிக்க முடியும். எனவே, இந்த சிக்கல் இயற்கணித சமன்பாடுகள் ஒரு நேர்கோட்டு அமைப்பு ஒரு தீர்வு கண்டுபிடித்து குறைக்கிறது

Kx - y = 4,
X + ky = -4.

அதன் முக்கிய தீர்மானிப்பு என்றால் இந்த அமைப்பு தீர்வு என்பது தனித்துவமானது
Det = k ^ {2} + 1 என்பது பூஜ்யம் அல்ல. வெளிப்படையாக, இந்த நிபந்தனை அளவுருவின் உண்மையான மதிப்புகளுக்கு திருப்தி அளிக்கிறது.

பதில்: அளவுருவின் உண்மையான மதிப்புகளுக்கு k.

இந்த வகையான பிரச்சனைகளுக்கு, கணிதம், இயற்பியல் அல்லது வேதியியல் துறையில் இருந்து பல நடைமுறை சிக்கல்கள் குறைக்கப்படலாம் .