விமானம் சமன்பாடுகளை: எப்படி செய்ய? வகைகள் விமானம் சமன்பாடுகள்

விமானம் விண்வெளியில் வெவ்வேறு வழிகளில் (ஒரு புள்ளி மற்றும் திசையன், திசையன் மற்றும் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு மூன்று புள்ளிகள் போன்றவை) வரையறுக்க முடியும். அது இந்த மனதில் கொண்டு, விமானம் சமன்பாடு பல்வேறு வகையான செய்துவிட முடியாது. மேலும் சில நிபந்தனைகளை கீழ் விமானம் இருக்கலாம் இணை, செங்குத்தாக, குறுக்கிடும், முதலியன இந்த இந்த கட்டுரையில் பேசுவோம். நாம் விமானம் மற்றும் மட்டும் பொது சமன்பாடு செய்ய கற்று கொள்கிறேன்.

சமன்பாடு சாதாரண வடிவம்

R என்பது ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைக்க அமைப்பு இஸ்ஸட் கொண்ட விண்வெளி _3, என்று இருக்கிறது. நாம் திசையன் α இறுதி வரைக்கும் தொடக்க புள்ளியாக பெ வெளியிடப்பட இருக்கிறது ஒரு திசையன் α, செங்குத்தாக அதை நோக்கி இது விமானம் பி வரைய வரையறுக்கின்றன.

ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியிலும் கே = (x, y z) என்ற மணிக்கு பி குறிக்கிறது. புள்ளி கே அடையாளம் கடிதம் ப ஆரம் திசையன். திசையன் நீளம் α ப = IαI மற்றும் Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ) சமம்.

திசையன் α போன்ற திசையில் நேரடியாகத் தேவைப்படுவதாக இந்த அலகு திசையன். α, β மற்றும் γ - z, முறையே திசையன் மற்றும் நேர்மறை திசைக்கும் உருவாகின்றன என்று கோணங்களில் Ʋ விண்வெளி அச்சுகள் x, y உள்ளன. திசையன் QεP Ʋ ஒரு புள்ளியின் திட்ட ப (பக், Ʋ) = ப (r≥0) சமமாக இது ஒரு மாறிலி.

மேற்கண்ட சமன்பாட்டை p = 0 விளக்கமாகும். இந்த வழக்கில் மட்டுமே n விமானம், அதன் திசை, திசையன் Ʋ வரையறுக்கப்பட்டது அதாவது என்றாலும் புள்ளி ஓ (α = 0), இதில் தோற்றம், மற்றும் அலகு திசையன் Ʋ, புள்ளி ஓ இருந்து விடுதலை எட்டியிருக்கும் என்று பி செங்குத்தாக இருக்கும் அடையாளம் வரை. முந்தைய சமன்பாடு எங்கள் விமானம் பி, திசையன் வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தினர். ஆனால் அதன் ஆய பார்வையில் உள்ளது:

பி அதிகமாக அல்லது 0. நாங்கள் இயல்பான வடிவத்தில் விமானம் சமன்பாடு கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளது சமமாக இருக்கும்.

பொது சமன்பாடு

ஆயங்களில் சமன்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை என்பதைக் எந்த எண் மூலம் பெருக்கக் மிகவும் விமானம் வரையறுக்கிறது என்று இந்த சமன்பாடு சமமான பெற்றுத் தந்தது. இது பின்வரும் வடிவம் வேண்டும்:

இங்கே, ஏ, பி, சி - பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து வெவ்வேறு ஒரே நேரத்தில் எண். இந்த சமன்பாடு விமானம் பொது வடிவம் சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது.

விமானங்கள் சமன்பாடுகள். சிறப்பு வழக்குகள்

சமன்பாடு பொதுவாக கூடுதல் நிபந்தனைகளை மாற்ற முடியும். அவர்களில் சிலர் கருதுகின்றனர்.

குணகம் ஒரு 0. என்று இந்த குறிக்கிறது கொள்வோம் என்று முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட அச்சு எருது க்கு விமானம் இணையாக. இந்த வழக்கில், சமன்பாடு வடிவில் மாற்றுகிறது: வு + Cz + d = 0.

இதேபோல், சமன்பாடு வடிவில் மற்றும் பின்வரும் நிபந்தனைகளை வேறுபடும்:

• முதலாவதாக, பி = 0 என்றால், ax + Cz + d = 0 சமன்பாடு மாற்றங்கள், அச்சு Oy சமாந்தரத்தன்மையைக் என்பதை இது.
• இரண்டாவதாக, சி = 0 என்றால், சமன்பாடு ax + மூலம் + d = 0 மாற்றப்படுகிறது என்று முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட அச்சு ஓஸ் இணையாக பற்றி சொல்ல வேண்டும்.
• மூன்றாவதாக, டி = 0 என்றால், சமன்பாடு விமானம் ஓ (தொடக்கம்) சந்திக்கும் புள்ளியில் அர்த்தம் என்று ax + by + Cz = 0, தோன்றும்.
• நான்காவதாக, என்றால் ஒரு = பி = 0, Oxy இணைச் செயற்பாடு நிரூபிக்க இது Cz + d = 0 சமன்பாடு மாற்றங்கள்.
• ஐந்தாவது, பி = சி = 0 என்றால், சமன்பாடு இது விமானம் Oyz இணையாகவுள்ள பொருள் கோடாரி + d = 0, ஆகிறது.
• Sixthly, ஒரு = சி = 0, சமன்பாடு வடிவம் வு + d = 0, எடுத்தால் அதாவது, இணைச் Oxz புகாரளிக்கப்படுவார்கள்.

பிரிவுகளில் சமன்பாட்டின் படிவம்

வழக்கில் எங்கே எண்கள் ஏ, பி, சி, பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து டி வெவ்வேறு சமன்பாட்டின் வடிவம் (0) பின்வருமாறு இருக்கலாம்:

எக்ஸ் / ஒரு + Y / ஆ + Z / இ = 1,

அங்குதான் ஒரு = -D / ஏ, ஆ = -D / பி, சி = -D / சி

நாம் துண்டுகளாக விமானம் விளைவாக சமன்பாடு என பெறும். (0, ஆ, 0) மற்றும் ஓஸ் - - (0,0, ங்கள்) அது இந்த விமானம் ஆய (அ, 0,0), Oy கொண்டு கட்டத்தில் x- அச்சு ஒன்றையொன்றுவெட்டும் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

சமன்பாடு X / ஒரு + Y / ஆ + Z / இ = 1, அது ஒரு ஒருங்கிணைக்க முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட கணினியில் வாய்ப்பு விமானம் உறவினர் காட்சிப்படுத்தியது கடினம் அல்ல கொடுக்கப்பட்ட.

சாதாரண வெக்டாரின் ஆய

விமானம் பி சாதாரண திசையன் N விமானம் பொதுச் சமன்பாடு, அதாவது N (ஏ, பி, சி) என்ற குணகங்களாகும் என்று ஆய உள்ளது.

சாதாரண n, ஆய தீர்மானிக்க பொருட்டு, அது விமானம் கொடுக்கப்பட்ட பொது சமன்பாடு தெரிந்து கொள்ள போதுமானது.

கொண்ட பிரிவுகளில் சமன்பாடு, பயன்படுத்தும் போது வடிவம் X / ஒரு + Y / ஆ + Z / இ = 1, பொது சமன்பாடு பயன்படுத்தும் போது எழுதப்பட்ட எந்த சாதாரண வெக்டாரின் ஆய முடியும் என ஒரு குறிப்பிட்ட விமானம்: (1 / ஒரு + 1 / ப + 1 / இ).

அது உதவி சாதாரண திசையன் பல்வேறு பிரச்சினைகளை தீர்க்க என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. மிகவும் பொதுவான பிரச்சினைகள் விமானங்கள் அல்லது விமானங்கள் மற்றும் நேர்க்கோடுகளில் இடையே கோணங்களில் இடையே கோணங்களில் கண்டறியும் பணி ஆதாரம் செங்குத்தாக அல்லது இணை தளங்களில் கொண்ட உள்ளன.

புள்ளி சாதாரண வெக்டாரின் விமானம் சமன்பாடு மற்றும் ஆய படி தட்டச்சு

ஒரு பூஜ்யமற்ற திசையன் n என்று அறியப்படுகின்றது, ஒரு குறிப்பிட்ட தளத்துக்கு செங்குத்தாக ஒரு முன்கூட்டியே விமானம் சாதாரண (சாதாரண) எனப்படும்.

ஒருங்கிணைக்க இடத்தில் (ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைக்க அமைப்பு) என்று Oxyz அமைக்க வைத்துக்கொள்வோம்:

• கோஆர்டினேட்டுகளோடு Mₒ புள்ளி (hₒ, uₒ, zₒ);
• பூஜ்யம் திசையன், n = ஏ * நான் + b * ஜே + சி * k ஆகியவையே.

நீங்கள் சாதாரண n க்கு செங்குத்தாக Mₒ புள்ளி மூலமாக கடக்கும் விமானம் சமன்பாடுகளை செய்ய வேண்டும்.

விண்வெளியில் நாங்கள் எந்த ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியிலும் தேர்வு மற்றும் எம் (x, y z) என்று குறிக்கிறது. ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் எம் (x, y z) என்று ஆரம் திசையன் நாம் இருக்கும் ஆர் = எக்ஸ் * நான் ஒய் * J + Z * கே, இவ்வாறு இது பாயிண்ட் Mₒ ஆரம் திசையன் (uₒ, hₒ, zₒ) + - rₒ = hₒ * நான் uₒ + * ஜே + zₒ * k ஆகியவையே. திசையன் MₒM திசையன் n க்கு செங்குத்தாக இருந்தால் புள்ளி எம், ஒரு குறிப்பிட்ட விமானம் சொந்தமாகி விடும். நாம் ஸ்கேலார் தயாரிப்பு பயன்படுத்தி ஆர்த்தோகனாலிட்டியின் நிலையில் எழுத:

[MₒM, N] = 0.

MₒM = R- rₒ என்பதால், விமானம் வெக்டாரில் சமன்பாடு இது போன்று தோற்றமளிக்கும்:

[ஆர் - rₒ, N] = 0.

இந்த சமன்பாடு மற்றொரு வடிவம் இருக்க முடியும். இந்த நோக்கத்திற்காக, ஸ்கேலார் தயாரிப்பு பண்புகள், மற்றும் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் மாற்றப்படுகிறது. [ஆர் - rₒ, N] = [ர், N] - [rₒ, N]. [Rₒ, N] கள் எனக் குறிக்கப்படுகிறது, இவற்றைக் சமன்பாட்டினை அடைவதற்கு: [ர், N] - ஒரு = 0 அல்லது [ர், N] விமானம் சேர்ந்தவை என்று புள்ளிகளை உருவாக்கு ஆரம்-பரவலாக்கங்களின் சாதாரண திசையன் மீது திட்டங்களும் ஒரே சீரான கூட்டும் வகையில் அமைந்த = ங்கள்.

இப்போது நீங்கள் ஆயத்தொலைவின் வகை பதிவு விமானம் எங்கள் திசையன் சமன்பாடு பெற முடியும் [ர் - rₒ, N] = 0. என்பதால் R-rₒ = (எக்ஸ்-hₒ) * நான் + (y- uₒ) * ஜே + (இஸட்-zₒ) * கே, மற்றும் n = ஓர் ஏ * நான் + b * ஜே + சி * கே, நாம் பெறுவது:

அது நாம் சமன்பாடு சாதாரண n க்கு செங்குத்தாக புள்ளி வழியாக விமானம் உருவாகிறது என்று மாறிவிடும்:

ஏ * (எக்ஸ் hₒ) + b * (ஒய் uₒ) எஸ் * (இஸட்-zₒ) = 0.

விமானம் சமன்பாடு மற்றும் திசையன் விமானம் கோடமை இரண்டு புள்ளிகள் ஆய படி தட்டச்சு

நாம் இரண்டு தன்னிச்சையான புள்ளிகள் எம் '(எக்ஸ்', Y ', Z') மற்றும் எம் "(x" என்னும், y ", இதில் Z"), அதே போல் திசையன் (அ ', ஒரு ", ஒரு ‴) வரையறுக்க.

இப்போது நாம் இருக்கும் புள்ளி எம் 'மற்றும் எம் "வழியாக எந்தக் சமன்பாடு முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட விமானம், மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட வெக்டருக்கு ஆய எம் (x, y z) என்ற இணை ஒவ்வொரு புள்ளி எழுத முடியும்.

இவ்வாறு M'M உயிரிகள் எக்ஸ் = {எக்ஸ் ', ஒய் ஒய்'; ZZ '} மற்றும் எம் "எம் = {x" என்னும் -x', Y 'ஒய்'; Z "-Z '} திசையன் கொண்டு ஒருதள இருக்க வேண்டும் ஒரு = (ஒரு ', ஒரு ", ஒரு ‴), அதாவது என்று (M'M எம்" எம், அ) = 0.

எனவே விண்வெளியில் விமானத்திலிருந்து எங்கள் சமன்பாடு இது போன்று தோற்றமளிக்கும்:

விமானம் சமன்பாடு வகை, மூன்று புள்ளிகள் கடந்து

அதே வரி சேர்ந்தவை இல்லாத, '(x (எக்ஸ்', Y ', z) என்ற', Y ', Z') (எக்ஸ் ‴ ஹேவ் ‴, Z ‴): நாம் மூன்று புள்ளிகள் உள்ளதாக வைத்துக்கொள்வோம். அது குறிப்பிட்ட மூன்று புள்ளிகள் வழியாக விமானம் சமன்பாடுகளை எழுத வேண்டும். வடிவியல் கோட்பாடு அது ஒரே தான், விமானம் இந்த வகையான இருக்கிறது என்று வாதிடுகிறார். இந்த விமானம் புள்ளி வெட்டுகிறது என்பதால் (எக்ஸ் ', Y', Z '), அதன் சமன்பாடு வடிவம் இருக்கும்:

இங்கே, ஏ, பி, மற்றும் சி அதே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து வேறுபட்டவை. மேலும் கொடுக்கப்பட்ட விமானம் இன்னும் இரண்டு புள்ளிகள் வெட்டுகிறது (x "என்னும், y", இதில் Z ") மற்றும் (x ‴, ஒய் ‴, Z ‴). இது தொடர்பாக இந்த நிபந்தனைகளின் வகையான மேற்கொள்ளப்பட வேண்டும்:

இப்போது நாம் ஒரு சீரான முறைமை உருவாக்க முடியும் சமன்பாடுகள் (நேர்) இன் தெரியாத U, V, இங்கு W:

எங்கள் வழக்கு x இல், Y அல்லது Z சமன்பாடு (1) திருப்திப்படுத்தக் கூடிய தன்னிச்சையான புள்ளியிலும் நிற்கிறது. சமன்பாடு (1) மற்றும் சமன்பாடுகள் (2) மற்றும் (3) மேலே கொடுத்துள்ள சுட்டிக்காட்டப்படுகிறது சமன்பாடுகள் அமைப்பின் ஒரு அமைப்பு கருத்தில் கொண்டு, திசையன் பூர்த்திசெய்யும் என் (ஏ, பி, சி) nontrivial உள்ளது இது. அமைப்பின் நிர்ணயிக்கும் பூச்சியமாக ஏனெனில் இது.

சமன்பாடு (1) நாங்கள் பெற்றுவிட்டோம் என்று, இந்த விமானத்தில் சமன்பாடு ஆகும். 3 புள்ளி அவர் உண்மையிலேயே செல்கிறது, அது சரிபார்க்க எளிது. இதை செய்ய, நாம் முதல் வரிசையில் உறுப்புகள் மூலம் நிர்ணயிக்கும் விரிவாக்கம். இருக்கும் பண்புகள் நிர்ணயிப்பதற்கு (X ', Y', Z '), (x "என்னும், y", இதில் Z ") (x ‴, ஒய் ‴, Z ‴) எங்கள் விமானம் ஒரே நேரத்தில் மூன்று முதலில் முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட புள்ளி சந்திக்கும் புள்ளியில் பின்வருமாறு. எனவே நாங்கள் எங்களுக்கு முன் பணி முடிவு.

விமானங்கள் இடையேயுள்ள கோணமாகும்

கோணமாகும் ஒரு நேர் கோட்டில் இருந்து வராதா என்று இரண்டு அரை விமானங்கள் உருவாகின்றன ஒரு வெளி வடிவியல் வடிவம் ஆகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அரை விமானங்கள் வரம்பிற்குட்படுத்தப்படுகிறது இடத்தை பகுதி.

நாங்கள் பின்வரும் சமன்பாடுகள் இரண்டு விமானம் வேண்டும் வைத்துக்கொள்வோம்:

நாம் தெரியும் என்று திசையன் இளங்கலை = (ஏ, பி, சி) மற்றும் N¹ = (A¹, H¹, S¹) முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட விமானங்கள் படி செங்குத்தாக உள்ளன. இது தொடர்பாக இந்த வானூர்திகளை இடையே அமைந்துள்ள உயிரிகள் N மற்றும் N¹ சம கோணம் (இருமுகக்) இடையே φ கோணம். ஸ்கேலார் தயாரிப்பு அளிக்கப்படுகின்றது:

NN¹ = | குறிப்பு || N¹ | காஸ் φ,

துல்லியமாக ஏனெனில்

cosφ = NN¹ / | குறிப்பு || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ², + (H¹) ², + (S¹) ²,)).

அது 0≤φ≤π கருத்தில் கொள்ள போதும்.

இடையில் அமைந்த உண்மையில் இரண்டு விமானங்கள், வடிவம் இரண்டு கோணம் (இருமுகக்): φ ₁ மற்றும் φ _2. அவர்களுடைய தொகை (φ ₁ + φ ₂ = π) அறிவதர்க்குக்காக சமமாக இருக்கும். தங்கள் cosines பொறுத்தவரை, அவர்களின் முழுமையான மதிப்புகள் அதாவது சமம் ஆனால் அவர்கள் வெவ்வேறு அத்தாட்சிகள் இருக்கின்றன், காஸ் φ ₁ = -cos φ _2. சமன்பாடு (0) ஒரு முறையே B மற்றும் -ஒரு, -b இன் சி மற்றும் -C, சமன்பாடு மாற்றப்படுகிறது என்றால், நாம் பெற்றுக்கொள்ள, அதே விமானம், மட்டுமே கோணம் சமன்பாடு காஸ் φ உள்ள φ தீர்மானிக்கும் = NN நேரத்தில் ¹ / | என் || என் ¹ | அது π-φ மூலம் மாற்றப்படும்.

செங்குத்தாக விமானம் சமன்பாடுகளை

விமானம் செங்குத்தாக அழைப்பு விடுத்தார்; இடையே கோணத்தில் 90 டிகிரி. மேலே வழங்கினார் பொருள் பயன்படுத்தி, நாம் ஒன்று செங்குத்தாக இருக்கும் விமானத்தில் சமன்பாடு காணலாம். நாங்கள் இரண்டு விமானங்கள் என்று நினைக்கிறேன்: ax + by + Cz + d = 0, மற்றும் + A¹h V¹u S¹z + டி = 0. நாம் அவர்கள் செங்குத்தாக இருக்கும் சொல்ல முடியும் காஸ் = 0 என்றால். இந்த என்று NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0 அர்த்தம்.

ஒரு இணை விமானம் சமன்பாடுகளை

அது பொதுவான எந்த புள்ளிகள் கொண்டிருக்கும் இரண்டு இணை விமானங்கள் குறிப்பிடப்படுகிறது.

நிபந்தனை இணை விமானங்கள் (தங்கள் சமன்பாடுகள் முந்தைய பத்தி அதே இருக்கின்றன) என்று அவர்களுக்கு செங்குத்தாக உள்ளன இது உயிரிகள் N மற்றும் N¹, கோடமை. இந்த பின்வரும் நிபந்தனைகளை விகிதாசார சந்தித்தார் என்பதே இதன் அர்த்தமாகும்:

ஒரு / A¹ = பி / சி = H¹ / S¹.

விகிதாசார அடிப்படையில் விரிவடைகின்றன என்றால் - ஒரு / A¹ = பி / சி = H¹ / S¹ = DD¹,

இந்த அதே தரவு விமானம் என்று குறிக்கிறது. இந்த சமன்பாடு ax + by + Cz + d = 0 மற்றும் + A¹h V¹u S¹z பொருள் + D¹ = 0 ஒன்று விமானம் விவரிக்க.

விமானம் வரையிலான புள்ளி தொலைவு

நாங்கள் (0) பின்வருமாறு எந்த ஒரு விமானம் பி, என்று வைத்துக் கொள்ளுங்கள். அது கோஆர்டினேட்டுகளோடு புள்ளியில் இருந்து தூரத்தில் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , நீங்கள் அதை செய்ய விமானம் இரண்டாம் சாதாரண தோற்றத்தில் சமன்பாடு அழைத்து வரவேண்டும்:

(Ρ, v) என்பதைக் = ப (r≥0).

இந்த வழக்கில், ρ (x, y z) என்று எங்கள் புள்ளி கே, n, ப அமைந்துள்ள ஆரம் திசையன் ஆகும் n -, பூஜ்ஜியம் புள்ளி இருந்து விடுதலை செய்யப்பட்டார் செங்குத்தாக நீளம், தொ - திசையில் ஒரு அடுக்கி வைக்கப்படுகின்றன இது அலகு திசையன் உள்ளது.

ஒரு புள்ளி கே = (x, y z) என்ற வேறுபாடு ρ-ρº ஆரம் திசையன், n க்கு சொந்தமான மற்றும் Q ₀ = போன்ற ஒரு திசையன், திட்ட தனி மதிப்பை மீது இது (hₒ, uₒ, zₒ) ஒரு குறிப்பிட்ட ஆரம் திசையன் வி கே இருந்து கண்டுபிடிக்க வேண்டும் இது தூரத்தில் ஈ, சமம் = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) பி க்கு:

டி = | (ρ-ρ ^0, v) ^{என்பதைக்} |, ஆனால்

(Ρ-ρ ^0, வி) = (ρ, தொ ) - (ρ ^0, வி) = ப (ρ ^0, v) ^{என்பதைக்.}

எனவே, மாறிவிடும்

ஈ = | (ρ ^0, வி) ப |.

இப்போது அது கே விமானம் பி ₀ தொலைவு ஈ கணக்கிட என்பது தெளிவு, அது சாதாரண பார்வை விமானம் சமன்பாடு பயன்படுத்த வேண்டும், ப இடது மாற்றத்தை, x, y கடைசி இடத்தில், Z மாற்றாக (hₒ, uₒ, zₒ).

இவ்வாறு, நாம் இருக்க வேண்டியது அவசியம் என்பதை ஈ விளைவாக வெளிப்பாடு தனி மதிப்பை கண்டுபிடிக்க.

மொழி அளவுருக்கள் பயன்படுத்தி, நாம் வெளிப்படையான பெற:

ஈ = | Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

குறிப்பிட்ட புள்ளி கே ₀ திசையன் இடையே பின்னர், தோற்றம் போன்ற விமானம் பி மற்ற பக்கத்தில் இருந்தால் ρ-ρ ⁰ மற்றும் வி , ஒரு மந்தத்தன்மை கோணம் இதனால்:

ஈ = - (ρ-ρ ^0, வி) = (ρ ^0, v) ^{என்பதைக்} -p> 0.

புள்ளி கே ₀ யூ ஒரே பக்கத்தில் அமைந்துள்ள தோற்றம் இணைந்து, தீவிரமான கோணம் உருவாக்கப்பட்ட போது வழக்கில், அதாவது:

ஈ = (ρ-ρ ^0, வி) ப = - (ρ ^0, வி)> 0.

விளைவாகவே என முன்னாள் வழக்கு (ρ ^0, வி)> ப, இரண்டாவது (ρ ^0, v) ^{என்பதைக்} <ப.

மற்றும் இதன் தொடு விமானம் சமன்பாடு

தொடுவரை Mº கட்டத்தில் மேற்பரப்பில் விமானம் குறித்து - மேற்பரப்பில் என்று புள்ளி மூலம் வரையப்பட்ட வளைவு சாத்தியமான அனைத்து தொடுகோடு கொண்ட ஒரு விமானம்.

சமன்பாடு எஃப் (x, y z) என்று = 0 தொடுகோடு விமானம் தொடுகோடு புள்ளி Mº இன் சமன்பாட்டில் (uº, hº, zº) இருக்கும் இந்த மேற்பரப்பில் வடிவம் உடன்:

எஃப் _{எக்ஸ்} (hº, uº, zº) (hº x) என்பது + F கொடுத்து _X (hº, uº, zº) (uº y) என்ற + F கொடுத்து _X (hº, uº, zº) (Z-zº) = 0.

மேற்பரப்பில் வெளிப்படையாக Z = F (x, y) என்ற அமைக்கப்பட்டால், பின்னர் தொடுகோடு விமானம் சமன்பாடு விளக்கப்பட்டிருக்கிறது:

Z-zº = ஊ (hº, uº) (hº x) என்பது + F (hº, uº) (ஒய் uº).

இரண்டு விமானங்கள் வெட்டும்

இல் முப்பரிமாண ஒரு ஒருங்கிணைக்க அமைப்பு (செவ்வக) Oxyz, இரண்டு விமானங்கள் பி ஒன்றன் இணைந்து வேண்டாம் என்று 'மற்றும் பி' கொடுக்கப்பட்ட உள்ளது. ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைக்க அமைப்பு பொது சமன்பாடு வரையறுக்கப்படுகிறது உள்ளது எந்த விமானம், என்பதால், எங்களிடம் n + b எக்ஸ் '+ Y' "= 0 மற்றும் ஒரு மற்றும் n சமன்பாடுகள் A'x + V'u S'z + டி வரையறுக்கப்படுகிறது '" என்று கருதுவது "z + டி" உடன் = 0. இந்த வழக்கில் நாங்கள் விமானம் பி 'மற்றும் சாதாரண N "(ஏ", பி ", சி") விமானம் பி' சாதாரண என் '(ஏ', பி ', சி') வேண்டும். எங்கள் விமானம் இணையாக என இல்லை மற்றும் இயைந்து இருக்கவில்லை பின்னர் இந்த வெக்டார்கள் கோடமை இல்லை. என் '≠ N "↔ (ஏ', பி ', சி') ≠ (λ * அப்பொழுது", λ * நிலவுகிறது ", λ * சி"), λεR: கணிதம் மொழியைப் பயன்படுத்தி நாம் இந்த நிபந்தனையாக எழுதலாம் வேண்டும். வெட்டும் P இல் அமைந்திருக்கக் கூடிய நேர் கோட்டில் 'மற்றும் பி ", கடிதம் ஒரு குறிக்கப்படும் இந்த வழக்கில் ஒரு = பி வேண்டும்' ∩ பி" வேண்டாம்.

மற்றும் - ஒரு வரி புள்ளிகள் (பொது) விமானங்கள் பி 'மற்றும் பி "ஒரு பன்முக கொண்டதாக இருக்கிறது. இந்த வரியானது க்குச் சொந்தமான புள்ளியின் ஆய, ஒரே நேரத்தில் சமன்பாடு A'x + V'u S'z + டி '= 0 மற்றும் ஒரு "X + பி + இ யை" Z + டி "= 0 நிறைவேற்ற வேண்டும் என்பதாகும். இந்த புள்ளியின் ஆய பின்வரும் சமன்பாடுகள் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு என்பதாகும்;

விளைவாக சமன்பாடுகள் இந்த அமைப்பின் தீர்வு (ஒட்டுமொத்த) வெட்டும் பி 'மற்றும் பி "புள்ளி செயல்பட இது வரியில் புள்ளிகள் ஒவ்வொரு ஆய தீர்மானிக்க மற்றும் ஒருங்கிணைக்க அமைப்பு Oxyz (செவ்வக) விண்வெளியில் ஒரு வரி தீர்மானிக்க வேண்டும்.